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Euclides

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Euclides
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Matemático de la antigua Grecia

Euclides, a la derecha, junto a Tolomeo, otro insigne miembro de la Escuela de Alejandría, en una miniatura medieval conservada en la Bodleian Library de Oxford, Reino Unido

Euclides Matemático de la antigua Grecia, autor de los famosos «Principios», en los cuales están expuestas, según el método axiomático, la geometría y la teoría de los números de aquella época.

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Contenido

A Euclides pertenece el famoso postulado (quinto) de las rectas paralelas, equivalente, en su sentido lógico, a la afirmación de que en un plano, por un punto situado fuera de una recta, sólo puede trazarse una recta que no corte la primera. La geometría basada en este postulado ha recibido el nombre de euclidiana. Las tentativas llevadas a cabo para demostrar el quinto postulado condujeron, en el siglo XIX, al descubrimiento de las geometrías no euclidianas (Lobachevski).

Euclides experimentó una fuerte influencia de la filosofía de Platón y de Aristóteles. Los «Principios» de Euclides sirvieron de modelo a la ciencia deductiva (Método axiomático, Spinoza). La geometría euclidiana constituyó la base de conclusiones filosóficas acerca de la naturaleza del espacio, así como de las representaciones sobre el espacio real. Kant, en particular, al afirmar el carácter apriorístico (a priori) del espacio, se remitía a la geometría de Euclides. El descubrimiento de las geometrías no euclidianas ha demostrado que carece de fundamento admitir el carácter apriorístico del espacio.

Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría (ciudad situada al norte de Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:

  • Euclides fue un matemático histórico que escribió los Elementos y otras obras atribuidas a él.
  • Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
  • Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Mégara, que había vivido unos cien años antes.

Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo de Cnido en relación a la teoría de la proporción y de Teeteto sobre los poliedros regulares.

Poco se conoce a ciencia cierta de la vida de quien fue el matemático más famoso de la Antigüedad. Se educó probablemente en Atenas, lo que explicaría con su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles.

Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las Matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría (el epigrama, sin embargo, se atribuye también a Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).

Fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipócrates de Quíos), que las superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito.

De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría elemental; recogen las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo.

Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas y los tres restantes se ocupan de geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto. La influencia posterior de los Elementos fue decisiva; tras su aparición, se adoptó inmediatamente como libro de texto ejemplar en la enseñanza inicial de la matemática, con lo cual se cumplió el propósito que debió de inspirar a Euclides.

Más allá, incluso, del ámbito estrictamente matemático, fue tomado como modelo, en su método y exposición, por autores como Galeno, para la medicina, o Espinoza, para la ética. De hecho, Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En el caso de los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes.

La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto (postulado de las paralelas). Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes, llamadas «no euclidianas», en las que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una Recta por un Punto exterior a ella.

Obra

La obra más famosa de Euclides es su tratado matemático Los elementos. El libro era una recopilación del conocimiento que se volvió el centro de la enseñanza matemática durante 2000 años. Probablemente ninguno de los resultados en Los elementos haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él.

De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que nunca son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide.

Los elementos empieza con definiciones y cinco postulados.

Postulados de Euclides

  • I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.
  • II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.
  • III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.
  • IV.- Todos los ángulos rectos son iguales.
  • V..- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este axioma es conocido con el, nombre de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así: V-. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela. Este axioma, que al parecer no satisfacía al propio Euclides, ha sido el más controvertido y dió pie en los siglos XVIII y XIX al nacimiento de las Geometrías no euclideanas.

Los 13 libros

Los elementos está dividido en trece libros sobre geometría y aritmética. Los libros del uno al seis tratan de geometría plana. En particular, los libros uno y dos dan las propiedades básicas de triángulos, paralelas, paralelogramos, rectángulos y cuadrados. El tres estudia propiedades del círculo mientras que el cuatro trata con problemas sobre círculos y se cree que expone trabajo de los seguidores de Pitágoras. El libro cinco muestra el trabajo de Eudoxio sobre proporciones aplicadas a magnitudes conmensurables3 e inconmensurables LIBROS del I al VI: Geometría plana.

  • El libro I trata de triángulos, paralelas, incluye postulados, etc.
  • El libro II trata del álgebra geométrica.
  • EL libro III trata de la geometría del circulo.
  • El libro IV de los polígonos regulares.
  • EL libro V incluye una nueva teoría de las proporciones, aplicable tanto a las cantidades mensurables (racionales) como a las inconmensurables (irracionales).
  • El libro VI es una aplicación de la teoría a La geometría plana.

LIBROS del VII al X:

  • Del VII al IX :Tratan de la teoría de los números (aritmética), se discuten relaciones como números primos, (Euclides prueba ya en un teorema que no hay una cantidad finita de números primos), mínimo común múltiplo, progresiones geométricas, etc.
  • El libro X trata de Los segmentos irracionales, es decir, de aquetlos que pueden representarse por raíz cuadrada.

LIBROS del. XI al. XIII: Geometría espacial.

  • En el libro XII aplica un método que abarca la medida de Los círculos, esferas etc.

Los Elementos es una verdadera reflexión teórica de y sobre Matemática. Prácticamente en la totalidad de su obra, que consta de 465 proposiciones, 93 problemas y 372 teoremas, ¡no aparecen números! Euclides, además, escribió sobre música y óptica, tiene una obra titulada Sofismas que, dice Proclo, sirve para ejercitar la inteligencia.

Anécdotas

  • La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido así mismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizaje; Euclides, tras explicarle que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma, ordenó a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que éste tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios y que aquel muchacho no había entendido nada de la grandeza de La Geometría y de lo desinteresado de ésta.
  • En una ocasión, el rey Ptolomeo preguntó a Euclides si había un camino más breve que el que él utilizaba en Los Elementos para estudiar Geometría, él respondió que no existen caminos reales en la Geometría. Con este juego de palabras, Euclides le vino a decir al rey que no existen privilegios en la Geometría.

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